Algfunktsioon ja tuletisfunktsioon

Tuletise leidmine
Algfunktsiooni mõiste
Tuletise põhjal algfunktsiooni leidmine
Funktsiooni avaldise taastamine
Vabaliige ja selle mõju funktsioonile

Pöördoperatsioonid

Asume uurima diferentseerimise pöördoperatsiooni, mida nimetatakse integreerimiseks.

Tuletise avaldisele saab seada vastavusse funktsiooni, mille tuletiseks see on. Selle operatsiooni tulemusena seatakse antud funktsioonile vastavusse selle algfunktsioon.

Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks on funktsioon F(x), mille tuletiseks on antud funktsioon, st

F′(x) = f(x), x ∈ X,

kus X on funktsiooni f(x) määramispiirkond.

(x³ )′= 3x². Järelikult, 3x² algfunktsioon on x³.

Kuid ka (x³ + 1)′ = 3x², (x³ – 5)′ = 3x² jne.

See näitab, et algfunktsioon pole üheselt määratud. Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, siis ka (F(x) + C) on algfunktsioon, sest konstandi C tuletis on null:

(F(x) + C)′ = F′(x) + 0 = f(x).

Järelikult on antud funktsioonil lõpmatult palju algfunktsioone, mis erinevad vaid konstandi poolest.

Mõtle

Määra graafikul F(x) ja f(x). Põhjenda otsust avaldistega.

F(x)′
f(x)
4x
4

y = 4x ja y = 4

sest ()′ =

F(x)
f(x)
x²
2x

y = x² ja y = 2x

sest ()′ =

F(x)
f(x)
3x³+ 2
9x²

y = 3x³+2 ja y = 9x²

sest ()′ =

F(x)′
f(x)
$\frac{2}{x}$
$- \frac{2}{x^{2}}$

y = 2/x ja y = –2/x²

sest ()′ =

F(x)
f(x)
2 sin x – 1
2 cosx

y = 2 sin x – 1 ja y = 2 cos x

sest ()′ =

F(x)
f(x)
e^x + e
e^x

y = e^x+ e ja y = e^x

sest ()′ =

Leiame funktsiooni f(x) = 2 – 2x kõik algfunktsioonid ning nende seast selle algfunktsiooni, mille graafik läbib punkti P(2; 3).

Kuna x′ = ja (x² )′ = ,
siis f(x) = 2 – 2x on
F(x) = 2x – x².

Tõepoolest,

F′(x) = (2x – x² )′ =
= 2x′ – (x² )′ =
= 2 – 2x = f(x).

Seega, omavad kuju

F(x) + C = 2x – x² + C.

Leiame C nii, et algfunktsiooni graafik läbiks punkti P(2; 3).
Seega F(x) = ning x = .

3 = 2 · 2 – 2² + C ⇔ C = .

Vastus

Algfunktsiooniks on y = 2x – x² + C. Punkti P(2; 3) läbib algfunktsiooni y = 2x – x² + 3 graafik.

Uuri graafikuid järgmisel slaidil.

F(x) + C = 2x – x² + C

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

$6 x + 2$
$5 x^{4} + 4$
$20 x^{3}$
$\frac{2}{x} - \frac{3}{2 x^{2}}$
$\frac{4}{x^{3}} - \frac{9}{x^{4}}$

F₁(x) = $3 x^{2} + 2 x + 4$	f₁(x) =
F₂(x) =	f₂(x) = $6$
F₃(x) = $x^{5} + 4 x - 2$	f₃(x) =
F₄(x) =	f₄(x) =
F₅(x) =	f₅(x) = $\frac{3}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}}$
F₆(x) = $\frac{3}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}}$	f₆(x) =

$F (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + C$
$F (x) = 2 x + C$
$F (x) = \sin x + C$
$F (x) = 2 x^{2} - 2 x + C$
$F (x) = x^{2} + C$
$F (x) = \ln |x| + C$
$F (x) = \cos x + C$
$F (x) = \frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} + C$
$F (x) = - x^{3} + x + C$

$F (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + C$
$F (x) = 2 x + C$
$F (x) = \sin x + C$
$F (x) = 2 x^{2} - 2 x + C$
$F (x) = x^{2} + C$
$F (x) = \ln |x| + C$
$F (x) = \cos x + C$
$F (x) = \frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} + C$
$F (x) = - x^{3} + x + C$

$F (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + C$
$F (x) = 2 x + C$
$F (x) = \sin x + C$
$F (x) = 2 x^{2} - 2 x + C$
$F (x) = x^{2} + C$
$F (x) = \ln |x| + C$
$F (x) = \cos x + C$
$F (x) = \frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} + C$
$F (x) = - x^{3} + x + C$

f(x) kõik algfunktsioonid on

–2x – x²
–2 + C
–2x – 2
–2x –x² + C
–2x – x² + 1
–2x –2x² + C

Mõned funktsiooni f(x) algfunktsioonid

Otsitav algfunktsioon on

$-2 + 3$
$-2 - 2 x - 5$
$-2 x - x^{2}$
$-2 x - x^{2} - 5$
$-2 x - x^{2} + 3$
$- \frac{x^{2}}{3} - x^{2} + 3$

Algfunktsioon läbib ka
1. punkti (1; )
2. punkti (; –5) või (; –5)

$f (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 2 x$

Algfunktsioon sisaldab liidetavaid

–2
3
$- \frac{1}{x}$
$\frac{1}{x}$
$- \frac{1}{2 x}$
$\frac{1}{2 x}$
$x^{2}$
$- x^{2}$
$- \frac{1}{x^{2}}$
$\frac{1}{x^{2}}$

Vastus. Otsitav algfunktsioon läbib punkte ja D.

Abiks õpetamisel

F = y = \frac{1}{x} + x^{2} - 2,

läbib punkte B ja D.
Lahendusideed.
a) Kui õpilane on vabaliikme leidnud, saab ta kontrollida, kas punkt asetseb joonel, lugedes argumendi x graafikult.
b) Saab kasutada mõnda tarkvara, konstrueerida selle alusel taastatud algfunktsioon ja graafikuid võrrelda.

$y = f (x) = \cos x - \sin x,$ $F (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

Abiks õpetajale

F(x) = sin x + cos x, roheline graafik
Lahendusideed
a) Kui õpilane on vabaliikme leidnud, saab ta kontrollida, kas punkt asetseb joonel, kui võtta argumendi x väärtuseks näiteks 0 või 0,5π.
b) Saab kasutada mõnda tarkvara, konstrueerida selle alusel taastatud algfunktsioon ja graafikuid võrrelda.

f(x) = x + 2
f(x) = 3x² – 2x + 4
f(x) = 5x⁴ + 6x²
f(x) = sin x
f(x) = –2 cos x
f(x) = $\frac{3}{{cos}^{2} x}$
f(x) = $\frac{1}{x}$ + 4
f(x) = 6e^x – x
f(x) = $- \frac{1}{x^{2}}$ + 2x³

Leia tehe, mille liidetav see on.

$\frac{x^{2}}{2}$		ln x
–x²		$\frac{1}{x}$
–2 sin x		C

Vastused

$\frac{x^{2}}{2}$ + 2x + C
x³ – x² + 4x + C
x⁵ + 2x³ + C
–cos x + C
–2 sin x + C
3 tan x + C
ln x + 4x + C
6e^x – 0,5x² + C
$\frac{1}{x}$ + 0,5x⁴ + C

Seotud sisu

Reegel

(F(x) + C)′ = F′(x) + 0 = f (x)

Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks on funktsioon F(x), mille tuletiseks on antud funktsioon.

Tuletiste tabel

a^x ln x
e^x
ax^a–1
0
$\frac{1}{x}$
$\frac{1}{x \ln a}$
sin x
cos x
$- \frac{1}{\sin^{2} x}$
$\frac{1}{\cos^{2} x}$

f(x)	f′(x)	f(x)	f′(x)
C		log_ax
x^a		sin x
e^x		cos x
a^x		tan x
ln x		cot x

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Alg­funktsioon ja tuletis­funktsioon

Seotud sisu

Pöördoperatsioonid

Mõtle

Vastus

Uuri graafikuid järgmisel slaidil.

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Abiks õpetamisel

Abiks õpetajale

Vastused

Seotud sisu

Reegel

Tuletiste tabel

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Algfunktsioon ja tuletisfunktsioon