Konspekt avaldised ja arvuhulgad

  • Sümboolika
  • Reaalarvude piirkonnad
  • Astendamise ja juurimise põhivalemid
  • Ruutkolmliikme tegurdamine
Ще на цю тему
Інші дії

Sümboolika

Järgnev tabel võtab kokku hulkadega seotud sümbolid.

Näidetes vaadeldakse hulki A = {2; 3; 5; 11} ja B = {2; 11; 18}.

Sümbol

Selgitus
​Näide

{ }

hulga tähis: elementide kogum
​A = {2; 3; 5; 11}

X ∪ Y

hulkade ühend ehk summa
​A ∪ B = {2; 3; 5; 11; 18}

X ∩ Y

hulkade ühisosa: elemendid, mis kuuluvad mõlemasse hulka
​A ∩ B = {2; 11}

X ⊂ Y

hulk X on hulga Y osahulk
​{3; 11} ⊂ A
{18} ​⊂ B

X ⊄ Y

hulk X ei ole hulga Y osahulk
​{7; 54; 26} ⊄ A
​B ⊄ A

s ∈ Y

element s kuulub hulka Y
​5 ∈ A, 18 ∈ B​

s ∉ X

element s ei kuulu hulka X
​1 ∉ A, 3 ∉ B​

X∖{2; 3}

hulgast X on lahutatud hulk ​{2; 3}
​A∖{2; 3} = {5; 11}

Sümbol

Selgitus
​Näide

𝕀

irratsionaalarvude hulk 
2 ; 7 3 ⊂ 𝕀

∅

tühi hulk
​{1; 7; 16} ∩ A = ∅
{3; 61} ​∩ B = ∅ 

ℕ

naturaalarvude hulk
​{2; 4; 9001} ⊂ ℕ

ℤ

täisarvude hulk
​{–2; 0; 101} ⊂ ℤ

ℚ

ratsionaalarvude hulk
​\left\{-\frac{2}{7};\ 0,33;\ 101,1\right\}\subsetℚ

ℝ

reaalarvude hulk
​\left\{\sqrt{3};\ -\frac{2}{3};\ \pi\right\}\subsetℝ

Ще на цю тему
Інші дії

Reaalarvude piirkonnad

Ще на цю тему
Інші дії

Astendamine

Naturaalarvuline astendaja

Olgu n naturaalarv. Arvu a astendamiseks arvuga n nimetatakse selle arvu n -kordset korrutamist iseendaga, st

a n = a · a · … · a ⏟ n

Seejuures arvu a nimetatakse aluseks või astendatavaks ja arvu n nimetatakse astmenäitajaks või astendajaks.

Negatiivne täisarvuline astendaja

Olgu n naturaalarv. Arvu a ≠ 0  negatiivse astendajaga aste on vastava positiivse astendajaga astme pöördarv, st

 a^{-n}=\frac{1}{a^n}

Astendaja 0

Iga nullist erineva aluse astendamisel arvuga 0 saame vastuseks arvu 1, st

a0 = 1

NB! 00 on määramatus.

Arvu n-es juur

Olgu n > 1 naturaalarv. Arvu a n-es juur on arv b, kui  an = b.

Seejuures seda arvu b tähistame sümboliga

\sqrt[n]{a}\ \mathrm{või}\ a^{\frac{1}{n}}. 

Arvu a nimetatakse juure aluseks või juuritavaks ja arvu n nimetatakse juurenäitajaks või juurijaks.

Ratsionaalarvuline aste

Positiivse reaalarvu a ratsionaalarvuline aste a^{\frac{m}{n}}  defineeritakse võrdusega a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}. Kusjuures a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m=\left(a^m\right)^{\frac{1}{n}}.

Ще на цю тему
Інші дії

Astendamise ja juurimise põhivalemid

am ⋅ an = am + n

am : an = am – n

(am)n = am ⋅ n

(a ⋅ b)m = am ⋅  bm

\left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^m}

Kuna kõik täisarvud on ka ratsionaalarvud ja juurimine on astendamine ratsionaalarvuga \frac{1}{n}\left(n>1\right), siis kehtivad antud valemid nii täisarvuliste astendajate kui ka juurimise korral.

Abivalemid

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Sümbolit ± kutsutakse plussmiinus. See tähendab, et valemit võib kasutada nii pluss- kui miinusmärgiga. Kui vasakul pool võrdusmärki on pluss, siis peab pluss olema ka paremal pool. Sama kehtib ka miinusmärgi kohta.

Ще на цю тему
Інші дії

Ruutkolmliikme tegurdamine

ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Ruutkolmliikme tegurdamine taandub vastava ruutvõrrandi lahendamisele.

Ще на цю тему
Інші дії