Правило сложения и правило умножения в комбинаторике

Курс „Элементы теории вероятностей и математической статистики”

Из курса основной школы мы знаем, что

вероятностью Р(А) появления события А называется отношение числа k всех благоприятствующих этому событию исходов испытания к общему числу n всех возможностей: $P\left(A\right)=\frac{k}{n}$P(A)=kn​​.

Чтобы выяснить, как проще всего найти величины n и k, нам нужно познакомиться с некоторыми понятиями и фактами раздела математики, называемого комбинаторикой.

Прежде, чем приступить к изучению этого раздела, вспомним, что в математике под множеством понимают совокупность некоторых отличных друг от друга объектов. Значит, в множестве не может быть повторяющихся элементов.

Комбинаторика изучает, как из данных элементов составлять множества, удовлетворяющие определенным условиям (такие множества называются также соединениями). Например, из букв русского алфавита, как из множества элементов, можно составить множество всех трехбуквенных слов, начинающихся на букву а (под «словами» понимаются любые сочетания из трех букв, т. е. ааа, ага и т. п.).

Мы познакомимся с некоторыми понятиями и фактами комбинаторики.

Пусть ребенку предложено выбрать одну игрушку из 3 мячиков и 2 кукол (т. е. либо мячик, либо куклу). Ясно, что различных возможностей для выбора у него будет 3 + 2 = 5. Подобные ситуации обобщаются в комбинаторике в виде правила сложения:

В приведенном примере объектом А является мячик, объектом В – кукла, а соответствующие числа способов выбора n = 3, m = 2.

В некоторых случаях число возможностей для выбора подчиняется правилу умножения:

Например, если ребенок должен выбрать один из 3 мячиков и одновременно одну из 2 кукол, то всего у него 3 · 2 = 6 возможностей для выбора. Обоснуем, почему. Если ребенок уже выбрал один мячик, то для выбора одной куклы у него есть 2 возможности. И так для каждого из мячиков. Поскольку мячиков три, то всего получается 2 + 2 + 2 = 3 · 2 = 6 возможностей.

Правилу умножения нетрудно дать и общее обоснование, рассуждая аналогично в случае трех и более объектов, считая, например, что два объекта уже выбраны.

Если неясно, какое из правил – сложения или умножения – нужно взять для решения задачи, то надо сформулировать вопрос так, чтобы способ выбора объекта был бы четко указан. В случае правила сложения употребляется выражение либо А, либо В (или короче, А или В), а в правиле умножения – как А, так и В (коротко – А и В).