Põhikoolis oleme õppinud, et
sündmuse A toimumise tõenäosuseks[mõiste: Sündmuse tõenäosus ehk klassikaline tõenäosus – sündmuse 𝐴 tõenäosus 𝑃(𝐴) on sündmuse 𝐴 jaoks soodsate võimaluste (soodsate elementaarsündmuste) arvu 𝑘 ja kõigi võimaluste (kõigi elementaarsündmuste) arvu 𝑛 jagatis.Valem 𝑃(𝐴) = 𝑘 : 𝑛.] P(A) nimetatakse selle sündmuse jaoks soodsate võimaluste arvu k ja kõigi võimaluste arvu n suhet,
Näide 1.
Lapsel on 5 paberilehte, millest igal on üks numbritest 0, 1, 2, 3, 4. Ta paneb neist juhuslikult võetud kolm kõrvuti. Kui suur on tõenäosus, et nii saadi kolmekohaline arv?
Lahendamiseks tuleb leida kõigi võimaluste arv n ja soodsate võimaluste arv k.
Kuidas suurusi n ja k võimalikult lihtsalt leida, selgub, kui tutvuda mõningate mõistete ja lausetega matemaatika osast, mida nimetatakse kombinatoorikaks[joonealune: combinatio (ladina k) – koos esinemine, ühes esinemine; ühend]. Üldiselt uurib kombinatoorika[joonealune: Üksikud kombinatoorika-alased teadmised pärinevad juba antiikajast. Kombinatoorika esimesed mõisted ja valemid, mida kasutati tõenäosusteooria-alaste ülesannete lahendamiseks, loodi 17. sajandil prantsuse matemaatikute Blaise Pascali ja Pierre de Fermat’ poolt. Kombinatoorika-alastest tulemustest tegi esimese kokkuvõtte saksa filosoof ja matemaatik Gottfried Wilhelm Leibniz 1666. a. Temalt pärineb ka nimetus kombinatoorika.], kuidas antud elementidest moodustada teatud tingimusi täitvaid hulki (nimetatakse ka ühenditeks[mõiste: Ühendid – permutatsioonide, variatsioonide ja kombinatsioonide ühine nimetus.]) ja kuidas leida selliste hulkade (ühendite) võimalikku arvu.
Järgnevalt vaatlemegi mõningaid kombinatoorika[mõiste: Kombinatoorika – matemaatika osa, mis uurib niisuguste ülesannete lahendamist, kus tuleb leida antud elementidest etteantud tingimustele vastavate erinevate hulkade moodustamise võimaluste arv.] mõisteid ja lauseid.
Kui lapsele on antud võimalus valida 3 erineva auto ja 2 erineva nuku seast üks mänguasi, siis pole kahtlust, et erinevaid valikuvõimalusi on 3 + 2 = 5. Kombinatoorikas sõnastatakse vastav reegel nn liitmislausena[mõiste: Kombinatoorika liitmislause – kui mingit objekti 𝐴 on võimalik valida 𝑛 erineval viisil ja objekti 𝐵 on võimalik valida 𝑚 erineval viisil ning valida tuleb kas objekt 𝐴 või objekt 𝐵, siis kõigi võimalike erinevate valikute arv on 𝑛 + 𝑚.]:
kui objekti A valikuks on n erinevat võimalust ja objekti B valikuks m erinevat võimalust ning valida tuleb kas objekt A või objekt B, siis kõigi erinevate valikuvõimaluste arv on n + m.
Toodud näite korral on objektiks A auto, objektiks B nukk ning n = 3 ja m = 2.
Teatud valikute arvu leidmiseks kasutatakse nn korrutamislauset[mõiste: Kombinatoorika korrutamislause – kui mingit objekti 𝐴 on võimalik valida 𝑛 erineval viisil ja objekti 𝐵 on võimalik valida 𝑚 erineval viisil ning valida tuleb nii objekt 𝐴 kui ka objekt 𝐵, siis kõigi võimalike erinevate valikute arv on 𝑛 · 𝑚.]:
kui objekti A valikuks on n erinevat võimalust ja objekti B valikuks m erinevat võimalust ning valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi erinevate valikuvõimaluste arv on n · m.
Kui näiteks laps võib võtta 3 erineva auto seast ühe ja 2 erineva nuku seast ühe, on erinevaid võimalusi nii auto kui ka nuku võtmiseks 3 · 2 = 6.
Veendume selles üldjuhul. Objekti A iga valikuga kaasneb m võimalust objekti B valikuks. Et objekti A saab valida n erineval viisil, siis on nii A kui ka B valikuvõimaluste koguarv n korda suurem kui ühe objekti A korral, seega n · m.
Kombinatoorika liitmis- ja korrutamislauset on võimalik üldistada kolme ja enama objekti juhule, lugedes eelnevalt näiteks kaks objekti juba valituks.
Näide 1. (järg)
Lahendame näites 1 esitatud ülesande.
Lahendus. Leiame kolmekohalise arvu tekkeks soodsate võimaluste arvu k. Kolmekohalise arvu esimese numbri valikuks on 4 võimalust, sest arv ei saa alata nulliga. Kui esimene number on valitud, on teise numbri valikuks 4 võimalust. Kui kaks esimest numbrit on valitud, jääb kolmanda numbri valikuks 3 võimalust. Et valik toimub põhimõttel nii esimene kui ka teine kui ka kolmas number, siis korrutamislause põhjal k = 4 · 4 · 3 = 48.
Kõiki erinevaid võimalusi viiest numbrist kolme kõrvuti asetamiseks on aga analoogilise mõttekäigu põhjal n = 5 · 4 · 3 = 60. Järelikult vastav tõenäosus p = k : n = 48 : 60 = 0,8.
Liitmis- ja korrutamislauset aitab eristada valikuviisi iseloomustav väljend. Liitmislause korral on see kas A või B (lühemalt A või B), korrutamislause korral nii A kui ka B (lühemalt A ja B).
Näide 2.
Leiame, mitu autot oleks saanud Eestis registreerida, kui numbrimärgis võinuks olla kas neli numbrit või neli suurtähte, kaasa arvatud võõrtähed, aga välja arvatud Õ, Ä, Ö, Ü, Š, Ž.
Lahendus. Korrutamislause järgi oleks saanud numbritega eristada 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 104 autot. Analoogiliselt ainult suurtähtedega 264 autot. Et kasutada võis kas ainult numbreid või ainult suurtähti, siis liitmislause põhjal on vastuseks 104 + 264 = 466 976.
Näide 3.
Lapse käes on neli kaarti tähtedega A, E, K, R. Leiame, mitmel viisil saab ta neid järjestada (mitu neljatähelist „sõna” saab ta neist moodustada) ja millised need järjestused on.
Esimest tähte saab ta valida 4 erineval viisil, teist kolmel, kolmandat kahel ja neljandat ühel viisil. Korrutamislause põhjal on erinevate „sõnade” arv 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Need on:
|
A E K R A E R K A K E R A K R E A R E K A R K E |
E A K R E A R K E K A R E K R A E R A K E R K A |
K A E R K A R E K E R A K E A R K R A E K R E A |
R A E K R A K E R E K A R E A K R K E A R K A E |
Kombinatoorika seisukohalt oleme näites 3 saanud teatud liiki hulgad (ühendid), mida nimetatakse permutatsioonideks[joonealune: permutatio (ladina k) – vahetus, muudatus] neljast elemendist. Üldiselt:
permutatsioonideks[mõiste: Permutatsioonid – 𝑛-elemendilise hulga kõikidest elementidest moodustatud kõikvõimalikud erinevad järjestused.] n erinevast elemendist nimetatakse nende elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi.
Permutatsioonide arv n elemendist, mida tähistatakse sümboliga Pn, on korrutamislause põhjal n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1.
Et kõigi naturaalarvude korrutist arvust 1 kuni arvuni n nimetatakse arvu n faktoriaaliks[joonealune: facteur (prantsuse k) – tegur] ja tähistatakse sümboliga n!, siis
Pn = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3· 2 · 1 = n!
Näiteks 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.
Kui soovime, et valem Pn = n! annaks ka permutatsioonide arvu ühest elemendist, mis on loomulikult 1, siis peame defineerima, et
1! = 1.
Nüüd P1 = 1! = 1.
Taskuarvutitel saab reeglina leida arvu faktoriaali[mõiste: Faktoriaal – naturaalarvu 𝑛 faktoriaal on kõigi naturaalarvude korrutis arvust 1 kuni arvuni 𝑛. Tähis 𝑛!.]. Selleks on klahv !, x! või n!.
Näide 4.
Leiame taskuarvutil
Taskuarvutil reeglina ei saa leida antud avaldise väärtust nii, et esmalt leitakse lugeja väärtus. Juba korrutise 50! · 40! arvutamisel annab arvuti veateate, sest tulemus ei mahu mällu. Seda on võimalik vältida, kui teha tehteid selles järjekorras, et vahetulemusi saab talletada. Nii sobib näiteks arvutusskeem
50 !: 60 !· 40 !: 28 !· 5 !: 8 !=
ja tulemuseks on 0,0291115274.
Näide 5.
Leiame, mitu neljatähelist „sõna“ saab moodustada tähtedest A, A, L, S. Mõnel neist on tähendus.
Näite 3 eeskujul vastust leida ei saa, sest korduvate tähtede omavahelisel vahetamisel ei muutu „sõna“ pildis midagi.
On aga võimalus kirjutada kõik need „sõnad“ välja ja siis loendada need. Et seejuures vältida võimalikke eksimusi, on otstarbekas teha seda nn diagrammi „puu“ abil, mis on joonisel 1.1.
 Joon. 1.1 | ||||||