Luku 1.1 (GLM 3.)

Võrratused

  • Suurem ja väiksem
  • Võrratuse omadused
  • Võrratuse lahendid
Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Suurem ja väiksem

Järjestatus

Kui võtame kaks suvalist reaalarvu, siis on need kas võrdsed või on üks teisest suurem (väiksem). Seda reaalarvude hulga omadust nimetatakse järjestatuseks.

Olgu a ja b kaks mis tahes reaalarvu, siis kehtib üks kolmest võimalusest:

  1. a = b ⇔ a ja b on võrdsed;
  2. a < b ⇔ a on väiksem arvust b;
  3. a > b ⇔ a on suurem arvust b.

Märka

  • Range võrratuse märgid:

< (väiksem)

> (suurem).

  • Mitterange võrratuse märgid:

≤ (mitte suurem, st väiksem või võrdne)

≥ (mitte väiksem, st suurem või võrdne).

NB! Edaspidi tähistame mis tahes võrratuse märgi tärniga: * .

Võrratus

Võrratus koosneb kahest avaldisest, mille vahel on võrratuse märk.

a * b, kus a ja b on avaldised.

  1. 20  4,52
  2. 4,5 20 
  3. 0,013  10–6
  4. –106  (–10)6
  5. 0,08   0,23
  6. 147  73
  7. 75  35
  8. 5–4  4–5
  9. (–3)5  (–3)4

Näited

Näide 1. Arvvõrratus

Kui võrratuse pooled ei sisalda üldse muutujaid, siis on tegemist arvvõrratusega. Arvvõrratus saab olla kas tõene või väär.

Tõene arvvõrratus

2020 ≥ 1980

Väär arvvõrratus

13,1 < 13,09

Muutujat sisaldav võrratus saab olla tõene või väär sõltuvalt selle muutuja väärtustest.

Võrratus 2x + 10 > 100 on

  • tõene,

kui x  45.

  • väär,

kui x  45.

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Omadused

Võrratuse omadused

1. Poolte vahetus

Kui võrratuse pooled vahetada, muutub võrratuse märk vastupidiseks.

a > b ⇔ b < a

2. Lisamine

Võrratuse märk ei muutu, kui võrratuse mõlemale poolele liita (või mõlemast poolest lahutada) üks ja sama arv või avaldis.

a * b ⇔ (a – c) * (b – c) ⇔ (a + c) * (b + c)

3. Positiivne tegur c > 0

Kui võrratuse mõlemat poolt korrutada või jagada positiivse arvu või avaldisega, siis võrratuse märk ei muutu. 

a * b ⇔ a ⋅ c * b ⋅ c

a*b⇔ac*bc

4. Negatiivne tegur c < 0

Kui võrratuse mõlemat poolt korrutada või jagada negatiivse arvu või avaldisega, siis võrratuse märk muutub vastupidiseks.

a > b ⇔ a ⋅ c < b ⋅ c

a>b⇔ac<bc

5. Võrdlemine

Kui esimene avaldis on teisest suurem (väiksem) ja see omakorda suurem (väiksem) kolmandast, siis on ka esimene avaldis suurem (väiksem) kolmandast.

a > b ja b > c ⇔ a > c

a < b ja b < c ⇔ a < c

6. Liitmine

Sama võrratuse märgiga võrratuste pooli võib liita.

a * b ja c * d ⇒ (a + c) * (b + d)

Märka

Järeldus 2. omadusest

Võrratuste jaoks kehtib sama omadus, mis oli ka võrranditel.

Kui viia avaldise liige võrratuse ühelt poolelt teisele, muutub selle liikme märk vastupidiseks.

Näited

Näide 1

Vahetame võrratuse pooled.

Range

5 < 7 

7 > 5

Mitterange

x + 4 ≥ 0 

0 ≤ x + 4

Näide 2

Lahutame võrratuse pooltest 5.

5 < 27

5 – 5 < 27 – 5 

0 < 22

Liidame võrratuse pooltele 2x.

1 –2x > 3

1 –2x + 2x > 3 + 2x

1 > 3 + 2x

Näide 3

Korrutame 3-ga.

4 > –5

4 ⋅ 3 > –5 ⋅ 3

12 > –15

Jagame 3-ga.

1 < 2

1 : 3 < 2 : 3

13 <23

Näide 4

Jagame –2-ga.

14 > 8

14 : (–2) < 8 : (–2)

–7 < –4

Korrutame –a2-ga.

2a<4a

2a·-a2>4a·-a2

-2a>-4a3

Näide 5

Kui 5 ≥ 4 ja 4 ≥ 1,

siis

5 ≥ 1.

Kui y – 2 < 1 ja 1 < 3,

siis

y – 2 < 3.

Näide 6

Kui 9 > 5 ja 1 > –2,

siis

9 + 1 > 5 + (–2)

10 > 3.

Kui 3t + 1 ≤ 0 ja –1 ≤ t + 2,

siis

3t + 1 – 1 ≤ 0 + t + 2

3t ≤ t + 2

Algne võrratus 3 < 5 – 0,5x.

  1. Vaheta võrratuse pooled.        
  2. Liida võrratuse pooltele –5.   
  3. Korruta võrratuse liikmed kahega. 
  4. Jaga võrratuse liikmed –1-ga. 
Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Võrratuse lahendid

Võrratuse lahendid

  • Võrratuse lahenditeks on need muutuja väärtused, mille korral võrratus on tõene.
  • Võrratuse kõik lahendid moodustavad võrratuse lahendihulga.
  • Võrratused on samaväärsed, kui neil on üks ja sama lahendihulk.

Märka

Sulgude kasutamine

  • Kui piirkonna otspunkt kuulub piirkonda, siis on nurksulgude otsad pööratud selle kõrval oleva väärtuse poole:

​lõik [a; b].

  • Kui piirkonna otspunkt ei kuulu piirkonda, siis on kaks võimalust:
  1. nurksulgude otsad on pööratud sellest väärtusest eemale (Avita paberõpikus):
    ​vahemik ]a; b[;
  2. ​kasutatakse kumersulge (siin digiõpikus):
    ​vahemik (a; b).

Reaalarvude piirkonnad

Lõik

a ≤ x ≤ b

[a; b]

Vahemik

a < x < b

]a; b[ või (a; b)

Poollõik

a < x ≤ b

]a; b] või (a; b]​

a ≤ x < b

[a; b[ või [a; b)​

Lõpmatu poollõik

x ≤ a

]–∞; a] või (–∞; a]​

x ≥ b

[b; ​∞[ või [b; ∞)

Lõpmatu vahemik

x < a

]–∞; a[ või (–∞; a)​

x > b

]b; ∞[ või (b; ∞)​

Võrratus

Sulgude abil

2<x≤10

;

x>6

;

-5≤x≤6

;

x≤9

;

-3≤x<0

;

9<x<11

;

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Harjuta ja treeni

  • (–2; 3)
  • [–2; 3]
  • (–∞; 2)
  • (–∞; 2]
  • [2; ∞)
  • (2; ∞)
  • (–∞; 5)
  • (–∞; 5]
  • (5; ∞)
  • [5; ∞)
  • (0; 7)
  • [0; 7]
  • [0; 7)
  • (0; 7]
  • (–5; 3]
  • (–∞; –5) U [3; ∞)
  • (–∞; –5] U (3; ∞)
  • ℝ\[–5; 3)
  • ℝ\(–5; 3]
  • ℝ\(–5; 3]
  • x <–5 ∨ x > 3
  • x <–5 ∨ x ≥ 3
  • x ≤–5 ∨ x ≥ 3
  • x ≤–5 ∨ x > 3
  • [2; 7]
  • (–∞; 2) U (7; ∞)
  • (–∞; 2] U [7; ∞)
  • ℝ\[2; 7]
  • ℝ\(2; 7]
  • ℝ\(2; 7)
  • x < 2 ∨ x > 7
  • x < 2 ∨ x ≥ 7
  • x ≤ 2 ∨ x ≥ 7
  • x ≤ 2 ∨ x > 7

Ühend

Ühisosa

1)

;∪;

2)

;∪;

3)

4)

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Jäta meelde

Lisää aiheesta
Muut toiminnot
Odota