Понятие числа начало формироваться тысячи лет назад, совершенствуясь и обогащаясь вместе с развитием человеческой цивилизации. Уже в древнем обществе возникла необходимость сравнивать множества, что стало возможным посредством счета элементов этих множеств. Так возникло первое из изученных нами в школьном курсе числовых множеств – множество N натуральных чисел[понятие: Множество N натуральных чисел (naturaalarvude hulk N) – N = {0; 1; 2; 3; ... }.]:
N = {0; 1; 2; 3; ...}[cноска: Одним из основоположников общей теории натуральных чисел был итальянский математик Д. Пеано (G. Peano, 1858–1932).].
Поскольку число 0 не столь естественным образом возникает при счете предметов, то неудивительно, что это число было введено в употребление значительно позднее[cноска: Напомним, что согласно математическим традициям Эстонии, число 0 обычно считается натуральным числом. Тем не менее, и в настоящее время можно встретить некоторые учебники и другие математические книги, в которых нуль не считается натуральным числом.]. Только в VII веке индийскими математиками были сформулированы правила пользования числом 0.
Нами изучены четыре основных действия с натуральными числами. Это сложение и умножение, а также обратные к ним действия – вычитание и деление.
Задание 1. Натуральные числа
№ | a | b | a + b | a · b | a – b | a : b |
1. | 3 | 7 | 10 | 21 | –4 | |
2. | ||||||
3. | ||||||
4. | ||||||
5. | ||||||
6. |
Из предыдущего задания мы видим, что разность 3 – 7 не является натуральным числом. Таким образом, зная только натуральные числа, нельзя выполнить вычитание во всех случаях. Отсюда вытекает необходимость дополнения множества натуральных чисел такими числами, которые позволяли бы всегда выполнять вычитание в полученном более широком множестве чисел. Это становится возможным, если ввести в употребление числа, противоположные натуральным.
Для натурального числа n противоположное[понятие: Противоположное число (vastandarv) – для натурального числа n противоположное число –n есть такое число, что n + (–n) = 0.] число –n мы определяем таким образом, что
n + (–n) = 0.
Натуральные числа вместе с противоположными им числами образуют множество Z целых чисел[понятие: Множество Z целых чисел (täisarvude hulk) – Z = {...; – 2; –1; 0; 1; 2; ...}.]:
Z = {...; – 2; –1; 0; 1; 2; ...}.
Отдельно рассматривают также множество Z+ положительных целых чисел[понятие: Множество Z+ положительных целых чисел (positiivsete täisarvude hulk) – Z+ = {1; 2; 3; ...}]:
Z+ = {1; 2; 3; ...}
и множество Z– отрицательных целых чисел[понятие: Множество отрицательных целых чисел (negatiivsete täisarvude hulk) – множество {...; –3; –2; –1}.]:[понятие: Множество Z– отрицательных целых чисел (negatiivsete täisarvude hulk) – Z– = {...; –3; –2; –1}.]
Z– = {...; –3; –2; –1}.
Таким образом,
Z = Z– ∪ {0} ∪ Z+ и N ⊂ Z (рис. 1.1)[cноска: Пoложительные и отрицательные числа были известны уже в древнем Китае примерно за 200 лет до н. э. Правила арифметических действий с отрицательными числами впервые встречаются в работах индийских математиков в VII веке.].
 Рис. 1.1 | ||||||
В результате введения противоположных чисел действие вычитания можно рассматривать как сложение (а разность – как сумму):
a – b = a + (–b).
Так как для всякого целого числа существует противоположное ему число, то действие вычитания на множестве целых чисел всегда выполнимо – разность любых двух целых чисел всегда является целым числом[понятие: Целое число (täisarv) – одно из чисел ..., –2, –1, 0, 1, 2, ...].
Целые числа подразделяются еще на четные и нечетные. Целое число, делящееся на 2, называется четным числом[понятие: Четное число (paarisarv) – целое число, делящееся на 2.]. Taкое число представляется в виде 2n, где n ∈ Z. Нечетные[понятие: Нечетное число (paaritu arv) – целое число, не дялящееся на 2.], т. е. не делящиеся на 2, числа можно преставить в виде 2n + 1, гдe n ∈ Z.
Задание 2. Целые числа
№ | a | b | a + b | a · b | a – b | a : b |
1. | 3 | 7 | 10 | 21 | –4 | |
2. | ||||||
3. | ||||||
4. | ||||||
5. | ||||||
6. |
Из только что решенного задания вытекает, что частное от деления целых чисел не обязательно целое число. Если число a делится на число b (b ≠ 0), то частное является целым числом, в противном же случае оно оказывается дробным числом[понятие: Дробное число (murdarv) – действительное число, не являющееся целым.] . Если a и b – числа одного знака, то эта дробь положительна, если разного знака, то отрицательна.
Дополнив множество целых чисел дробными числами, мы получим новое числовое множество, в котором всегда выполнимо и действие деления (кроме деления на нуль). Все целые числа, а также все положительные и отрицательные дробные числа вместе образуют множество Q рациональных чисел[понятие: Множество Q рациональных чисел (ratsionaalarvude hulk) – множество всех обыкновенных дробей, или, что равносильно, множество всех конечных или бесконечных периодических десятичных дробей.] (рис. 1.2).
Рис. 1.2
|
||||||
Поскольку всякое целое число можно представить в виде частного
рациональным числом[понятие: Рациональное число (ratsionaalarv) – число, представимое в виде частного от деления двух целых чисел, причем делитель отличен от нуля. Каждое рациональное число можно представить в виде либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дроби.] называется всякое число, которое можно представить в виде дроби , где a ∈ Z, b ∈ Z и b ≠ 0.
При изучении дробей мы уже пользовались следующими понятиями:
обыкновенная дробь[понятие: Обыкновенная дробь (harilik murd) – дробное число, записанное с помощью двух натуральных чисел и черты дроби. ]: (a ∈ N, b ∈ N и b ≠ 0),
правильная дробь[понятие: Правильная дробь (lihtmurd) – обыкновенная дробь, числитель которой меньше знаменателя.]: (a ∈ N, b ∈ N, b ≠ 0 и a < b),
неправильная дробь[понятие: Неправильная дробь (liigmurd) – обыкновенная дробь, числитель которой больше или равен знаменателю.]: (a ∈ N, b ∈ N, b ≠ 0 и a ≥ b),
смешанное число[понятие: Смешанное число (segaarv) – сумма натурального числа и правильной дроби, записанная без знака "плюс".]: сумма натурального числа и правильной дроби:
десятичная дробь[понятие: Десятичная дробь (kümnendmurd) – дробное число, записанное с помощью десятичной запятой.]: дробь, которая записывается при помощи запятой, где первая цифра после запятой означает число десятых, вторая цифра – число сотых и т. д.:
Одно и то же число может быть представлено несколькими различными способами:
Всякое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель. При этом результатом деления может быть:
- в первом случае конечная десятичная дробь[понятие: Конечная десятичная дробь (lõplik kümnendmurd) – десятичная дробь, имеющая последнюю отличную от нуля цифру.]:
- во втором случае получающиеся при делении остатки начинают с некоторого момента повторяться, и возникает бесконечная периодическая десятичная дробь[понятие: Бесконечная периодическая десятичная дробь (lõpmatu perioodiline kümnendmurd) – десятичная дробь, у которой последняя цифра или группа цифр бесконечно повторяются.]:
Поскольку всякая конечная десятичная дробь может быть записана в виде бесконечной периодической десятичной дроби (1,275 = 1,27500… = 1,275(0)), то можно сказать, что:
всякое рациональное число представимо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Имеет место и обратное утверждение:
всякая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью рационального числа.
Пример.
Выразим бесконечную периодическую десятичную дробь x = 1,2(43) в виде обыкновенной дроби, т. е. в виде частного от деления двух целых чисел.
Решение.
 | ||||||||
a и являются взаимно обратными числами.
