Punkti koordinaadid ruumis

Koordinaatteljed
Punkti kirjeldamine koordinaatide abil
Kahe punkti vaheline kaugus

Punkt ruumis

Kui tahame määrata punkti koordinaate kolmemõõtmelises ruumis, peame lisama kahele olemasolevale teljele veel kolmanda. Seda telge nimetatakse aplikaatteljeks ehk z-teljeks.

Punkti P z-koordinaadiks on selle ristprojektsioon z₁ z-teljel.

Seega saame koordinaadid

P(x₁; y₁; z₁) ja P´(x₁; y₁; 0), kui projekteerime punkti xy-tasandile.

Punkti asukoha kirjeldamine ruumis
P(x₁, y₁, z₁)

Märka

Tasandeid, millel asuvad kaks koordinaattelge kolmest, nimetatakse koordinaattasanditeks. Need on xy-tasand, xz-tasand ja yz-tasand.

Kui punkti z-koordinaat on null, siis asub see punkt xy-tasandil, P(x₁; y₁; 0).
Kui punkti y-koordinaat on null, siis asub see punkt xz-tasandil, P(x₁; 0; z₁).
Kui punkti x-koordinaat on null, siis asub see punkt yz-tasandil, P(0; y₁; z₁).

Kui tahame leida punkti projektsioone telgedel, peame võrdsustama kaks koordinaati nulliga. Punkti P(x₁; y₁; z₁) projektsioon x-teljel on Q′(x₁; 0; 0), projektsioon y-teljel on Q″(0; y₁; 0) ja projektsioon z-teljel Q‴(0; 0; z₁).

P(2; 3; 0) asub
P(–1; 0; 3) asub
P(0; –3; –2) asub
P(2; 0; 0) asub
P(0; –1; 0) asub
P(0; 0; 5) asub

Näide 1

Punkti asukoha kirjeldamine ruumis P(x₁, y₁, z₁)

Koordinaattasandid jaotavad ruumi kaheksaks oktandiks

More like this

Punktide vaheline kaugus

Vaatleme kahte punkti
P(x₁; y₁; z₁) ja Q(x₂; y₂; z₂).

Leiame nendevahelise kauguse.

Projekteerime mõlemad punktid xy-tasandile,
saame punktid:
P′(x₁; y₁; 0), Q′(x₂; y₂; 0).

Nende punktide vaheline kaugus d₁ järeldub Pythagorase teoreemist (Δx ja Δy on koordinaatide muudud).

$d_{1} = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} =$
$= \sqrt{{(∆ x)}^{2} + {(∆ y)}^{2}}$

Tasandil, millel asuvad punktid P, Q, P′ ja Q', on täisnurkne kolmnurk PQR, mille kaatetiteks on d₁ ja $|∆ z| = |z_{1} - z_{2}|$ ning hüpotenuusiks otsitav kaugus d, mille leiame Pythagorase teoreemi järgi.

$d = \sqrt{{d_{1}}^{2} + {(∆ z)}^{2}} =$ $\sqrt{{(∆ x)}^{2} + {(∆ y)}^{2} + {(∆ z)}^{2}}$
ehk
$d = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} + {(z_{1} - z_{2})}^{2}}$

Kahe punkti, P(x_1;y_1;z₁) ja Q(x₂_; y₂_; z₂), vaheline kaugus d.

$d = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} + {(z_{1} - z_{2})}^{2}}$

Punktide projektsioonid on järgmised:

A′(–3; –1; 0), B′(1; –4; 0);
A″(–3; 0; 4), B″(1; 0; –8);
A‴(0; –1; 4), B‴(0; –4; –8).

Punktidevaheline kaugus on ruutjuur vastavate koordinaatide muutude ruutude summast.

$d = \sqrt{^{2} +^{2} +^{2}} =$
$= \sqrt{169} = 13$

A(2; 0; 0), B(5; 0; 0),
seega d_AB = .
M(2; 1; 0), N(5; –1; 0),
seega d_MN ≈ .
S(2; 1; –4), T(5; –1; 1),
seega d_ST ≈ .
O(0; 0; 0), K(–1; –1; –1),
seega d_MN ≈ .
O(0; 0; 0), L(2; 2; z), d_OL = $2 \sqrt{3}$ ,
seega z₁ = < z₂ = .
U(0; 1; z), H(1; 1; 1), d_UV = $\sqrt{2}$ ,
seega z₁ = < z₂ = .

More like this

Harjuta ja treeni

(0; 0; 0)
(2; 0; 0)
(0, 2; 0)
(0; 0; 2)
(2; 3; 0)
(3; 2; 0)
(0; 3; 0)
(0; 3; 2)
(0; 3; 4)
(3; 4; 0)
(0; 0; 4)
(2; 0; 4)
(2; 4; 0)
(2; 3; 4)
(3; 2; 4)
(4; 2; 3)
(2; 4; 3)

$\sqrt{13}$
$\sqrt{29}$
$\sqrt{20}$
2
3
4
5

AC =	HG =
BD =	DF =
BG =	AG =

z-teljel punkt

B(0; 0; 5);
B(0; 0; 2⁵)
B(5; 0; 5)
B(–120; 0; 5)
B(2²⁰; 0; 5 )
B(2^–15; 0; 5)

xy-tasandil võrdne lõigu pikkusega

B(0; 0; 5)
B(2; 4, 5)
B(12; –15; 0)
B(–10; –1; 5)
B((–2)⁷; 8; 5)
B(90; 68; –5)

3) yz-tasandil võrdne lõigu pikkusega

B(2; 0; 0)
B(2; 4, 5)
B(2; –1; 0)
B(–10; 2; 5)
B(2; 2¹⁰; 100)
B(9; –6; 2)

A(–2; –5; 3) ja
B(3; 1; 4)?
Vastus. h = $\sqrt{}$
A(–2; –5; 3) ja
B(2; –3; 2)?
Vastus. h = $\sqrt{}$

A(–2; –5; 3) ja B(3; 1; 4)

More like this

Punkt tasandil, punkt ruumis

P(2; –3)
$\sqrt{(1 - 2)^{2} + (1 - (- 3))^{2}}$
P(1; 2; –3 )
$\sqrt{(1 - 1)^{2} + (1 - 2)^{2} + (1 - (- 3))^{2}}$

Punkt tasandil

Punkt ruumis

Punkti P ja Q(1; 1) vaheline kaugus tasandil

Punkti P ja Q(1; 1; 1) vaheline kaugus ruumis

P(x; y; z) asub x-teljel, siis

x = 0
y = 0
z = 0

P(x; y; z) asub y-teljel, siis

x = 0
y = 0
z = 0

P(x; y; z) asub z-teljel, siis

x = 0
y = 0
z = 0

P(x; y; z) asub xy-tasandil, siis

x = 0
y = 0
z = 0

P(x; y; z) asub yz-tasandil, siis

x = 0
y = 0
z = 0

P(x; y; z) asub xz-tasandil, siis

x = 0
y = 0
z = 0

More like this

Service provided by Star Cloud LLC

Join Opiq

Opiq score

	Tasks
	Chapter is studied

Punkti koordinaadid ruumis

More like this

Punkt ruumis

Märka

Näide 1

More like this

Punktide vaheline kaugus

More like this

Harjuta ja treeni

More like this

Punkt tasandil, punkt ruumis

More like this

Add content

Files to be added

Report Mistake

Only report errors related to the functionality or content of Opiq. Please describe the error as precisely as possible.

If you agree to share additional info, add your contact data (e-mail, phone).

Check to help us fight spam

Opiq uses cookies